Número entero

El conjunto de números enteros. Construcción

En el conjunto de los números naturales, la sustracción no siempre es posible; puesto que —recuerda— para poder efectuarla imponíamos una condición: que el minuendo fuera mayor que el sustraendo. Podíamos restar, por ejemplo, 7 − 2 = 5; pero, ¿qué ocurre cuando el minuendo es menor que el sustraendo? ¿Cómo restar 2 − 7? Esta operación no se puede efectuar en el conjunto de los números naturales, pues no hay ningún número natural que sumado con 7, de 2 como resultado.

Para solucionar este problema es necesario ampliar el conjunto de números. Así, definiremos el conjunto de números enteros, en el que será posible la sustrac-

ción de cualquier manera: tanto si el minuendo es mayor que el sustraendo, como si el sustraendo es mayor que el minuendo.

Vamos a construir el conjunto de los números enteros:

Recuerda la definición de par ordenado que ya conoces por Teoría de conjuntos: «Un par ordenado es un conjunto de dos elementos con indicación de orden», es decir: uno de los elementos es la primera componente del par; y el otro, la segunda componente. De manera que dos pares son distintos, si tienen distintos elementos; o, si teniendo las mismas componentes, éstas están en distinto orden:

(2, 5) ≠ (3, 4)

(2, 5) ≠ (5, 2)

Para que te hagas una idea exacta de qué es un par ordenado, fíjate en este ejemplo:

Vamos a considerar el conjunto de equipos de fútbol y el de divisiones en que esos equipos militan:

En la temporada 77-78, el Barcelona quedó 2.° de 1.^a División, este resultado lo puedes indicar con el par (2, 1) en que la primera componente indica el lugar que ocupó un equipo y la segunda componente la División en que se encontraba. Siguiendo esta misma manera de representación, el Zaragoza quedó 1.° de 2.^a División, y lo representamos (1, 2).

Este es un ejemplo de pares ordenados, puesto que (1, 2) ≠ (2, 1). Ya que con (1, 2) indicamos 1.° de 2.^a División, y con (2, 1), 2.° de 1.^a División.

Bien, como ya recuerdas el significado correcto de par ordenado, vamos a formar el producto cartesiano N × N.

N × N = {(a,b)/a  N y b  N}

es decir: N × N es el conjunto de todos los pares ordenados de números naturales: (1, 2), (5, 7), (8, 3), (7, 0), (24, 10), etc., son algunos elementos de N × N.

Definimos en este conjunto, N × N, una relación binaria de la siguiente forma:

(a, b) R (c, d) si a + d = b + c

es decir: «dos pares ordenados de números naturales están relacionados, cuando la suma de la 1.^a componente del 1.° par con la 2.^a componente del 2.° par, es igual a la 2^a componente del 1.° par más la 1.^a componente del 2.° par».

Ejemplos:

(1, 5) R (3, 7) pues 1 + 7 = 5 + 3

(8, 0) R (15, 7) pues 8 + 7 = 15 + 0

Esta relación que hemos definido en N × N es una relación de equivalencia, puesto que cumple las propiedades:

a) Reflexiva:

(a, b) R (a, b) pues a + b = b + a

b) Simétrica:

Si (a, b) R (c, d) entonces (c, d) R (a, b) ya que suponemos que (a, b) R (c, d), lo que significa que a + d = b + c igualdad que podemos escribir también: b +
+ c = a + d que es lo mismo que decir que c + b = d + a y por lo tanto:

(c, d) R (a, b)

c) Transitiva:

Si (a, b) R (c, d) y (c,d) R(e,f)

entonces

(a, b) R (e, f)

como vamos a probar inmediatamente:

Supongamos que:

(a, b) R (c, d) y (c, d) R (e, f)

lo que significa que:

a + d = b + c y c + f = d + e

Restando miembro a miembro:

y pasando e al segundo miembro y f al primero:

a − e = b − f  a + f = b + e

luego:

(a, b) R (e, f)

Ejemplo:

(5, 4) R (3, 2) pues 5 + 2 = 4 + 3

(3, 2) R (8, 7) pues 3 + 7 = 2 + 8

Luego:

(5, 4) R (8, 7) ya que 5 + 7 = 4 + 8

Cuando dos pares ordenados de números naturales están relacionados mediante esta relación de equivalencia, diremos que esos pares son iguales:

(a, b) = (c, d) si a + d = b + c

Ejemplos:

(5, 4) = (9, 8) pues 5 + 8 = 4 + 9

(6, 15) = (8, 17) pues 6 + 17 = 15 + 8

(0, 7) = (5, 12) pues 0 + 12 = 7 + 5

Esta relación de equivalencia divide al conjunto inicial N × N, en clases de equivalencia, cada una de las cuales estará formada por todos los pares relacionados entre sí:

Así, la clase cuyo representante es (0, 0) estará formada por los pares (1, 1), (2, 2), (3, 3), etc., pues:

0 + 1 = 0 + 1 ; 0 + 2 = 0 + 2

1 + 2 = 1 + 2, etc.

La clase de representante (1, 0) estará formada por: (2, 1), (3, 2), (4, 3), etc., pues:

1 + 1 = 0 + 2 ; 1 + 2 = 0 + 3, etc.

Observa que en cada clase están todos los pares de igual diferencia. Decimos entonces que:

(0, 0) = (1, 1) = (2, 2) = (3, 3) = …

(1, 0) = (2, 1) = (3, 2) = (4, 3) = …

(0, 1) = (1, 2) = (2, 3) = (3, 4) = …

(2, 0) = (3, 1) = (4, 2) = (5, 3) = …

…………………………………………………..

Elegimos un solo representante de cada clase de equivalencia. El representante más sencillo de cada clase de equivalencia, el que tiene uno o dos ceros, se llama representante canónico de la clase:

El representante canónico de (16, 18) es (0, 2) y el de (20, 18) es el (2, 0).

Es decir: un número entero es un par ordenado de números naturales. Dos números enteros son distintos, si los pares ordenados que los definen, no están relacionados.

Pero representar los números enteros mediante pares de números naturales resulta muy engorroso en la práctica, por lo que se utiliza normalmente una notación abreviada, que es la siguiente:

El par (0, 0) se representa por 0

 El par (1, 0) se representa por + 1

 El par (0, 1) se representa por − 1

 El par (5, 8) se representa por − 3

 El par (8, 5) se representa por + 3

En general, para representar abreviadamente un número entero, se restan sus dos componentes, y a la diferencia se le pone el signo +, si es mayor la primera componente del par; y signo −, si la mayor es la segunda componente.

Ejemplos:

(15, 7) = + 8 pues 15 − 7 = 8

y la mayor es 15, que es también la primera componente.

(6, 24) = −18 pues 24 − 6 = 18

y la mayor, 24, es la segunda componente.

Si delante de un número entero no aparece ningún signo, se sobreentiende que lleva el signo +.

Por consiguiente, usando la notación abreviada, el conjunto de los números enteros es:

Z = {0, +1, −1, +2, −2, +3, −3, + 4, −4, +5, −5,…}

Llamamos valor absoluto o módulo de un número entero, al valor que tiene el número prescindiendo del signo. Lo expresamos escribiendo el número entre dos líneas verticales:

Decimos que dos números enteros son opuestos cuando tienen el mismo valor absoluto y distinto signo:

+ 15 y − 15 son opuestos, pues el valor absoluto es el mismo para los dos: 15 y sus signos son distintos.