Número complejo

Introducción

Hagamos un breve resumen de los conjuntos de números que conoces:

Comenzaste estudiando los números naturales, 0, 1,2, 3, 4, 5, …, conjunto en el que podías efectuar sin problemas dos operaciones: adición y multiplicación; pero al definir la sustracción te encontrabas con el problema de que esta operación era solo posible en el caso de que el minuendo fuese mayor que el sustraendo. Ampliábamos entonces el conjunto de números conocidos y definíamos el conjunto Z de los números enteros: 0, 1, —1, 2, —2, 3, —3, en el que la sustracción es posible en todos los casos, tanto si es mayor el minuendo como si el mayor es el sustraendo; pero al efectuar la división en Z nos encontrábamos con un problema semejante: esta operación en Z es posible solo cuando el dividendo sea múltiplo del divisor. Ante este inconveniente tuvimos que ampliar de nuevo el conjunto de números y definimos el conjunto Q de los números racionales en el que ya es posible efectuar perfectamente las cuatro operaciones elementales. Posteriormente definimos el conjunto I de los números irracionales, formado por los números con infinitas cifras decimales no periódicas, o sea los números decimales que no se pueden escribir en forma fraccionaria; y a continuación formamos un conjunto que englobaba a todos los anteriores y lo llamamos conjunto de los números reales, R. Pero aún R es incompleto en cuanto a las operaciones que en él se realizan: piensa conmigo un momento y recordarás que las raíces de índice par de números negativos no tienen solución en r. Ampliaremos otra vez el conjunto de números para lo que definiremos el conjunto C de los números complejos en el que se pueden realizar todas las operaciones de r y, además, la radicación es posible siempre, tanto si el radicando es positivo como si es negativo, sea cual sea el índice.

El número i

Recuerda que la raíz n-sima de un producto es igual al producto de las raíces n-simas de los factores:

y cualquier número negativo se puede escribir como producto del número positivo de igual valor absoluto por — 1:

−a = (+ a) · (−1)

luego

por lo que el problema de calcular la raíz de índice par de un número negativo se reduce a calcular la raíz de ese índice de – 1. Para solucionarlo llamamos y así ya podemos resolver:

Obtenemos como soluciones los números i, 2i, 3i, etc. que llamamos Imaginarios Puros.

El número i en que nos hemos basado se denomina unidad imaginaria.