Geometría Proyectiva

Teorema fundamental de la geometría proyectiva

• Enunciado. Supongamos que se proyectan, en el plano, todos los puntos de una línea A sobre una línea B y después los de B sobre C, y así sucesivamente hasta una línea K. En consecuencia, a cada punto a de A corresponde biunívocamente un punto k de K: esta correspondencia se llama proyectiva; puede indicarse con el símbolo y se escribe: por ejemplo; K es la proyección de A según la transformación considerada.

El teorema fundamental de la geometría proyectiva consiste en afirmar que, si se conocen las proyecciones k₁, k₂, k₃ de tres puntos distintos a₁, a₂, a₃ pertenecientes a una recta A, el transformado k_i de un punto cualquiera a_i de A puede ser determinado sin ambigüedad en K.

• Puntos en el infinito. En geometría elemental, este teorema tenía que comprender una restricción, debida a la existencia de rectas paralelas. Sea, por ejemplo, la transformación proyectiva que hace corresponder a todo punto a de A un punto k en K determinado por la intersección de la recta ao con la recta K, siendo o un punto fijo que caracteriza la transformación. Es evidente que el punto a_o de A, tal que a_oo sea paralela a K no posee transformado k_o en K, puesto que a_oo no se encuentra con K. Esta circunstancia anula la generalidad del teorema fundamental y puede ocasionar, en la continuación de los razonamientos, complicaciones y discusiones que pueden ser evitadas introduciendo la noción de punto en el infinito (punto ideal) en una recta: a toda recta D asociemos (axiomáticamente) un punto δ llamado punto en el infinito, tal que (siempre axiomáticamente) toda recta paralela a D pase por δ (dicho de otra forma, consideremos que dos rectas paralelas se encuentran en el infinito). Con ello, en el caso presente de la transformación examinada, a_oo, al ser paralela a la recta K, corta esta recta en su punto en el infinito x (letra griega: kappa). A partir de esta noción de punto en el infinito, introducida por el geómetra francés Desargues (1593-1662), podemos definir:

La cinta sin fin, del arquitecto y escultor suizo Max Bill (Museo de Arte Moderno, París). Los misterios de la geometría moderna han atraído la atención de los artistas contemporáneos. Esta obra no es otra cosa que el anillo de Möbius, una de las curiosidades más famosas de la topología.